Разложим квадратные трехчлены на множители по формуле:
ax^2 + bx + c = a (x — x₁) (x — x₂), где х₁ и х₂ = это корни квадратного трехчлена.
1) ax^2 — (a + c) x + c.
Коэффициенты квадратного уравнения:
а = а; b = — (а + с); с = с.
D = b^2 — 4ac;
D = (а + с) ^2 — 4 * а * с = a^2 + 2ac + c^2 — 4ac = a^2 — 2ac + c^2 = (a — c) ^2 (√D = a — c).
x = (-b ± √D) / 2a;
х₁ = ((а + с) + (а — с)) / 2 а = 2 а/2 а = 1.
х₂ = ((а + с) — (а — с)) / 2 а = (а + с — а + с) / 2 а = 2 с/2 а = с/а.
ax^2 — (a + c) x + c = а (х — 1) (х — с/а) = (х — 1) * а * (х — с/а) = (х — 1) (ах — с).
Ответ: ax^2 — (a + c) x + c = (х — 1) (ах — с).
2) 6x^2 + 5mx + m^2.
а = 6; b = 5m; c = m^2.
D = (5m) ^2 — 4 * 6 * m^2 = 25m^2 — 24m^2 = m^2 (√D = m).
х₁ = (-5m + m) / 12 = — 4m/12 = — m/3.
x₂ = (-5m — m) / 12 = — 6m/12 = — m/2.
6x^2 + 5mx + m^2 = 6 (х + m/3) (х + m/2) = 2 * 3 * (х + m/3) (х + m/2) = 3 * (х + m/3) * 2 * (х + m/2) = (3 х + m) (2 х + m).
Ответ: 6x^2 + 5mx + m^2 = (3 х + m) (2 х + m).
3) 56y^2 + ay — a^2.
а = 56; b = а; с = — a^2.
D = a^2 — 4 * 56 * (-a^2) = a^2 + 224a^2 = 225a^2 (√D = 15a).
х₁ = (-а + 15 а) / 112 = 14 а/112 = а/8.
х₂ = (-а — 15 а) / 112 = — 16 а/112 = — а/7.
56y^2 + ay — a^2 = 56 (х — а/8) (х + а/7) = 7 * 8 * (х — а/8) (х + а/7) = 7 * (х + а/7) * 8 * (х — а/8) = (7 х + а) (8 х — а).
Ответ: 56y^2 + ay — a^2 = (7 х + а) (8 х — а).