Для начала найдем точки экстремума данной функции, принадлежащие отрезку [1; 5].
Для этого находим производную данной функции у’ (x), а затем решаем уравнение y’ (x) = 0:
y’ (x) = (x + 4/x) ‘ = (x + 4 * x^ (-1)) ‘ = 1 + 4 * (-1) * x^ (-2) = 1 — 4 * x^ (-2) = 1 — 4/x^2.
1 — 4/x^2 = 0;
4/x^2 = 1;
x^2 = 4;
x^2 — 4 = 0;
(x — 2) * (x + 2) = 0;
х1 = 2;
х2 = — 2.
Отрезку [1; 5] принадлежит только точка х = 2.
Теперь находим значения у (1), у (2) и у (5) и сравниваем их:
у (1) = 1 + 4/1 = 1 + 4 = 5;
у (2) = 2 + 4/2 = 2 + 2 = 4;
у (5) = 5 + 4/5 = 5 + 0.8 = 5.8.
Следовательно, наибольшее значение данной функции на отрезке [1; 5] это 5.8, а наименьшее значение — это 4.
Ответ: наибольшее значение данной функции на отрезке [1; 5] это 5.8, а наименьшее значение — это 4.